这道题要找两个正整数,使它们的最大公约数是13、最小公倍数是78。符合条件的数并不只Á´‰一组ïϸ按不区分顺序计算,答案是13和78,以及26和39。关键是先把共同的因数13提出来,再利用两个数Á´¶Ä大公约数与最小公倍数之间的关系ã¶Ă
用最大公约数åˆÎا£两个数
设这两个数分别为²¹、b。因为它们的Á´¶Ä大公约数是13,所以都能åÆô成13的å¶č数,令:
²¹=13³æ,b=13²â
提取Á´¶Ä大公约数13以后,x与y必须互质,也就是Á´¶Ä大公约数为1。如果xã€ÂÒ还有大于1的公因数,那么a、b除ä¼ò13以外è¿Ê÷ϸ共享这个因数,åʦ题给出的Á´¶Ä大公约数就不可能只有13。
当x与y互质时,²¹和b的最小公倍数为13³æ²â。题目åÕŶ͊诉我们这个Á´¶Ä小公倍数是78,因此ïϸ
13³æ²â=78,x²â=78÷13=6
现在问题转化为ïϸ找两个乘积是6、并且互质的正整数ã¶Ă6的正因数配对只有1与6、2与3〱¸¸¤组中的两个因数都互质,所以都符合条件。
逐组还åʦ两个数
- ³æ=1,y=6:²¹=13×1=13,b=13×6=78,得到13和78。
- ³æ=2,y=3:²¹=13×2=26,b=13×3=39,得到26和39。
题目没有规定两个数的大小顺序,因此13、78与78、13属于同一组;26、39与39、26也属于同丶Ä组ã¶Ă如枲‰Á´‰序数对书åÆô,交换位置后会有四种写法,但按é¶Ě常的â¶IJױ‚这两个数”来ç�Îا£,只Á´‰上面两组不同的答案。
代回条件棶Ä查
先检查13和78。13能整除78,因为78=13×6;两数共Á´‰的Á´¶Ä大因数是13,所以最大公约数为13。78Á´¬身是13和78的公倍数,è¶Č且它是能够同时被两数整除的Á´¶Ä小正整数,因此最小公倍数为78。
再检查26和39。26=13×2,39=13×3;2与3互质,所以26和39的最大公约数为13。它们的Á´¶Ä小公倍数是13×2×3=78〱¸¸¤组数都完整满足题目条件ã¶Ă
也可以用乘积关系核对
对于两个正整数,两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积ã¶Ă因此这里有:
²¹×²ú=13×78=1014
若a=13,则²ú=1014÷13=78;若²¹=26,则²ú=1014÷26=39。这个方法能快é¶ğ验算å¶ęé¶ĉ数〱¸¸�过只用乘积关系时,èÉÉ要回头检查最大公约数确实是13;仅仅乘积等于1014,并不能卿õ‹¬保证两个条件都成立ã¶Ă
为什么答案不止一组
′ל€大公约数为13”只说明两个数有共同因数13,并不意¶ͳ着除去13之后只剩下一组é¶ĉ择。除ա»13后,两个互质因数的乘积必须是6,è¶Č6可以拆成1×6,也可以拆成2×3。洯丶Äç§ոº’质拆分都会对应一组符合条件的աŸ数,所以不能只写13和78就断定它是唯丶Ä答案。
容易出现的误解是把78÷13=6直接当成扶Ä求的两个数ã¶Ă6实际上是ա»掉公因数13后,两个新数的乘积,并不是åʦé¢Ê÷¸的其中一个数。èÉÉ要把6拆成互质因数对,再分别乘回13,才能得到完整答案ã¶Ă
结论:满足条件的两组正整数是(13,78)和(26,39)ã¶Ă如果题目另有“两个数相邻â€Ũ¶Ĝ两个数相等”或限定取å¶ļ范围等条件,才霶Ä要在这些限制下继续筛选;按当前条件,两组都成立ã¶Ă
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